En matemáticas,
una serie de Taylor de una función f(x) infinitamente
derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r)
se define como la siguiente suma:
Aquí, n! es
el factorial de n y f (n)(a)
indica la n-ésima derivada de f en el punto a.
Si esta serie converge
para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r)
y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x)
se llama analítica. Para
comprobar si la serie converge a f(x), se suele utilizar una
estimación del resto del teorema de Taylor. Una función es analítica si y
solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de
esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de
Taylor.
Si a =
0, a la serie se le llama serie de
Maclaurin.
Esta representación
tiene tres ventajas importantes:
·
La derivación e integración de una de
estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones
triviales.
·
Se puede utilizar para calcular valores
aproximados de la función.
·
Es posible demostrar que, si es viable la
transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación
posible.
Algunas funciones no se
pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En
estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando
potencias negativas de x (véase Serie de Laurent. Por
ejemplo f(x) = exp(−1/x²) se puede desarrollar como
serie de Laurent.
sin(x) y aproximaciones de Taylor
centradas en 0, con polinomios de
grado 1,3, 5, 7, 9, 11 y 13.
La
función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n+1
términos de su serie de Taylor en torno a cero (en rojo).